Загрузка...
Категории:

Загрузка...

Магические квадраты удивительные представители воображаемого мира чисел

Загрузка...
Поиск по сайту:


Скачать 62.97 Kb.
Дата17.03.2012
Размер62.97 Kb.
ТипДокументы
Содержание
Совершенные квадраты.
Пример единственного
Как построить магический квадрат?
Подобный материал:


Магические квадраты.

Саженов В.

6А, школа №22, г.Жезказган

рук. КулагинаКК


«Я не знаю ничего более прекрасного

в арифметике, чем эти числа,

которые одни называют планетными,

а другие - магическими»

Пьер де Ферма

Введение.

Магические квадраты привлекают естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступны, но по прежнему непостижимы, скрывают за кажущейся простотой множество тайн…


Задачи исследования:

  1. Изучить понятие магических квадратов.

  2. Изучить историю возникновения магических квадратов.

  3. Составить магический квадрат.


Магические квадраты - удивительные представители воображаемого мира чисел.

Магическим квадратов n-ого порядка называется квадратная таблица размером n*n, заполненная натуральными числами 1 доn в квадрате, суммы которых по всем строкам , столбцам и диагоналям равны. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка. Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали - его постоянной.

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым старым из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу. Она имеет размер 3*3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло- Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На Востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех. Кто их носит. От многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые математики, приводившие их примеры в своих сочинениях.

Древние греки были знакомы с простейшим магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца 8 в. Упоминается его автор- философ - новопифагореец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры.

Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором.

В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье. Что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы.

В начале 16 в. знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия».

Квадрат Дюрера имеет размер 4*4 и составлен из 16 первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата. А также образующих четыре равных квадрата , на которые можно разделить исходный квадрат. А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают на дату создания гравюры-1514г.

В середине 16 века в Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты предстали в качестве объектов математического исследования. Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Паскаль, Баше, Ферма, Беси. Эйлер, Гаусс, Штифель.

Например, Баше де Мезириак описал простой графический способ построения квадратов нечетного порядка. Последний не раз переоткрывался и , вероятно, был изобретен еще в древности.

Примерно в то же время Пьер де Ферма разработал общий метод построения квадратов четного порядка , а Френикль де Беси вычислил и построил все квадраты 4-ого порядка. Дальнейшее развитие теории магических квадратов оказалось связано с развитием теории чисел и комбинаторики.

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами.


^ Совершенные квадраты.

Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они состоят, удовлетворяют дополнительным условиям. Такие квадраты называются совершенные. Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот или симметрия. Так же. Квадрат останется совершенным после того, как его верхнюю строку перенести вниз или левый столбец переставить к правой стороне.

Возникают самые разные вопросы, связанные с магическими квадратами. На одни из них ответы давно найдены, на другие только предстоит найти. Я бы хотел остановиться подробнее на магическом квадрате 3-его порядка. Он - самый простой.

^ Пример единственного магического квадрата 3х3.


2

9

4

7

5

3

6

1

8


Остальные квадраты получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей.

C увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, различные магические квадраты, 4х4 - 880, а для размеров 5х5 – 250000.

Существует ли магический квадрат 2-ого порядка? Квадрат 2-ого порядка должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная равняться 5.Чтобы квадрат 2-ого порядка магическим, надо число 5 представить в виде суммы двух данных чисел шестью способами, а таких комбинаций всего две! 1+4 и 2+3!. Значит, не существует.

^ Как построить магический квадрат?

Я бы хотела рассмотреть метод составления магического квадрата , описанный Баше де Мезириаком.

  1. Все натуральные числа от 1 до 25 запишем в клетках по диагонали так, чтобы получился диагональный квадрат.

  2. Выделим в центре квадрат размером 5*5. Он и составит основу будущего магического квадрата.

  3. Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесем внутрь- к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток.

  4. Магический квадрат готов.


11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15



Прочитав о магических квадратах, попробовал составить магический квадрат.

Вот что получилось:

1

12

8

13

14

7

11

2

15

6

10

3

4

9

5

16



Заключение.

Мне очень понравилась эта тема математики, т.е. магические квадраты. Постараюсь глубже изучать её. Изучил историю развития магических квадратов, понятие магических квадратов. Попробовал составить свой магический квадрат.


Скачать, 311.75kb.
Поиск по сайту:

Добавить текст на свой сайт
Загрузка...


База данных защищена авторским правом ©ДуГендокс 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
наши контакты
DoGendocs.ru
Рейтинг@Mail.ru