Категории:

Учебно-методический комплекс по дисциплине Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы математической физики)

Поиск по сайту:


Скачать 325.5 Kb.
Дата04.10.2012
Размер325.5 Kb.
ТипУчебно-методический комплекс
Содержание
Требования Госстандарта.
К обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки выпусника по курсу
Требования государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования к уровню подготовки выпусника по сп
Специалист должен знать и уметь использовать
Методы математической физики
по Линейным и нелинейным уравнениям физики (Методы математической физики)
Рабочая программа составлена на основании примерной программы Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, реко
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры
Пояснительная записка
Актуальность и значимость курса
Цель и задачи изучения курса
Место дисциплины в профессиональной подготовке специалиста
Структура учебной дисциплины.
Особенности изучения учебной дисциплины
Формы организации учебного процесса по данной дисциплине
Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Объем и сроки изучения дисциплины.
Виды контроля знаний студентов и их отчетности
Тематический план
...
Полное содержание
Подобный материал:


ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»


Кафедра теоретической физики


Учебно-методический комплекс по дисциплине


Линейные и нелинейные уравнения физики

(Методы математической физики)

Для специальности 010701 Физика


Кемерово 2007



СОГЛАСОВАНО:

СОГЛАСОВАНО:

Декан физического факультета

Ю.Н. Журавлев______________________

«_____»__________________ 200__г.

Первый проректор КемГУ

Б.П.Невзоров___ _________________

«_____»__________________ 200__г.

УМК обсуждено и одобрено

Ученым советом физического факультета

Протокол №___ от «___»_________200__г.

Председатель ученого совета факультета, Декан физического факультета

Ю.Н.Журавлев _________________________

«_____»__________________ 200__г.

УМК обсуждено и одобрено

Научно-методическим советом КемГУ

Протокол №___ от «___»_________200__г.

Председатель НМС, первый проректор КемГУ

Б.П.Невзоров ___________________

«_____»__________________ 200__г.



ОБСУЖДЕНО:

РАССМОТРЕНО:

Зав.кафедрой ______________

ФИО _________________

«_____»__________________ 200__г.

Председатель методической комиссии

М.Л. Золотарев ___________________

«_____»__________________ 200__г.

УМК обсуждено и одобрено

На заседании кафедры

Протокол №___ от «___»_________200__г.

Зав.кафедрой __________________

ФИО _____________________

«_____»__________________ 200__г.

УМК обсуждено и одобрено

Методической комиссией физического факультета

Протокол №___ от «___»_________200__г.




СОДЕРЖАНИЕ


  1. Требования государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (Специальность 010701 – физика) к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы и к уровню подготовки выпускника по курсу Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы математической физики).

  2. Примерная учебная программа курса, рекомендуемая УМО «Физика»

  3. Рабочая программа курса

  4. Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов

  5. Учебно-методические материалы

  6. Оценочные и диагностические средства итоговой государственной аттестации и учебно-методическое обеспечение их проведения.

  7. Электронный вариант всех документов.

^ Требования Госстандарта.


ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (Специальность 010700 – ФИЗИКА)^ К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСНИКА ПО КУРСУ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЗИКИ.

Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Общая схема метода разделения переменных. Специальные функции математической физики. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Уравнения параболического типа. Уравнения гиперболического типа. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Понятие о нелинейных уравнениях математической физики. Метод конечных разностей.


^ ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСНИКА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010700 – ФИЗИКА

^ Специалист должен знать и уметь использовать: классификацию уравнений с частными производными второго порядка, общую схему метода разделения переменных, краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца, уравнения теплопроводности и колебаний на бесконечной и полубесконечной прямых и в неограниченном пространстве, метод конечных разностей, специальные функции.


Примерная программа курса «Линейные и нелинейные уравнения физики», рекомендуемая УМО «Физика»
^

Методы математической физики


Составители:

доцент Боголюбов А.Н.

доцент Кравцов В.В.

профессор Свешников А.Г.

профессор Тихонов Н.А.

 Ответственный редактор - профессор Бутузов В.Ф.

1.Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.
2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.
3. Общая схема метода разделения переменных.
4. Специальные функции математической физики

4.1. Цилиндрические функции.

Уравнение Бесселя. Функции Бесселя. Функции Ханкеля. Функции Неймана. Общее решение уравнения Бесселя. Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента.

4.2. Классические ортогональные полиномы.

Дифференциальные уравнения. Формула Родрига. Производящая функция. Полиномы Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Полиномы Лагерра. Полиномы Эрмита.

4.3. Сферические и шаровые функции.

 

5. Краевые задачи для уравнения Лапласа

Гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формула Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема Гаусса, теорема о среднем, бесконечная дифференцируемость, принцип максимума). Теоремы единственности для внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа. Функция Грина для оператора Лапласа. Гармонические потенциалы. Свойства потенциалов простого и двойного слоя. Метод интегральных уравнений для решения краевых задач. Существование решений основных краевых задач для уравнения Лапласа.

6.Уравнения параболического типа

Внутренние начально-краевые задачи. Принцип максимума. Теоремы единственности. Теорема существования для одномерного случая. Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой и в неограниченном пространстве. Теорема единственности. Теорема существования. Фундаментальное решение. Уравнение теплопроводности на полубесконечной прямой. Метод продолжения. Функция Грина. Метод интегральных преобразований Фурье.

7. Уравнения гиперболического типа

Внутренние начально-краевые задачи. Теоремы единственности. Теоремы существования в одномерном случае. Уравнение колебаний на бесконечной прямой. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера. Уравнение колебаний на полубесконечной прямой. Метод продолжений. Метод интегральных преобразований Фурье. Задачи Коши для уравнения колебаний в пространстве. Формула Пуассона. Метод спуска.

8. Краевые задачи для уравнения

Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа. Свойства собственных значений и собственных функций. Собственные функции оператора Лапласа для простейших канонических областей. Фундаментальное решение уравнения . Теоремы единственности для уравнения в ограниченной области. Уравнение в неограниченной области. Условия излучения Зоммерфельда. Теорема единственности. Принцип предельного поглощения.

Примерные задачи математического практикума

1. Изучение специальных функций с помощью компьютеров.
2. Распространение волн на бесконечной прямой и отрезке (символьные и численные методы, графические изображения).

Необходимый минимум для получения положительной оценки

  1. Общая схема метода разделения переменных для однородных и неоднородных задач (гиперболический, параболический и эллиптический случаи).

  2. Постановка задачи Штурма-Лиувилля.

  3. Уравнение Бесселя и его общее решение.

  4. Определение классических ортогональных полиномов.

  5. Определение присоединенных функций Лежандра, сферических функций, шаровых функций.

  6. Определение гармонической функции. Принцип максимума.

  7. Постановка внешних и внутренних задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.

  8. Функция Грина внутренних задач Дирихле и Неймана в двумерном и трехмерном случаях.

  9. Определение и основные свойства объемного и поверхностных потенциалов.

  10. Общая постановка начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области. Принцип максимума.

  11. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Фундаментальное решение.

  12. Общая постановка начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области.

  13. Постановка задачи Коши для уравнения колебаний на бесконечной прямой. Формула Даламбера.

  14. Уравнение Гельмгольца. Фундаментальные решения на плоскости и в пространстве.

  15. Условия излучения в двумерном и трехмерном случае.


Распределение часов курса по темам и видам работ

 

 

 

Аудиторные занятия

Само-стоя-

? п/п

Наименование тем и разделов

Всего

в том числе

тельная

 

 

часов

Лекции (час)

Семинары (час)

работа

1

Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

12

4

2

6

2

Классификация уравнений в частных производных второго порядка

7

4

1

2

3

Общая схема метода разделения переменных

14

5

3

6

4

Специальные функции

40

16

8

16

5

Краевые задачи для уравнения Лапласа

50

14

12

24

6

Уравнения параболического типа

34

10

8

16

7

Уравнения гиперболического типа

35

11

8

16

8

Краевые задачи для уравнения.
u + cu = 0

44

8

12

24

 

Итого

236

72

54

110



Форма итогового контроля

Зачет и экзамен

Литература

Основная

  1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. Изд-во МГУ, 2000.

  2. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. Изд-во МГУ, 1998.

  3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд-во МГУ, 1999.

Дополнительная

  1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.

  2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

  3. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972.


Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Кафедра теоретической физики


«Утверждаю»

Декан

факультета физического факультета

______________________

(подпись)

«___» ___________ 200_ г.


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
^

по Линейным и нелинейным уравнениям физики (Методы математической физики)


для специальности 010701 ФИЗИКА, ОПД.Ф.02_____

(шифр и наименование специальности, цикл и компонент ГОС ВПО)

факультет _Физический_


курс _2,3___________________ экзамен _5_________

семестр _4,5_______________ (семестр)

лекции _68________________ (часов) зачет _4___________

практические занятия __68__ (часов) (семестр)

лабораторные ______(часов)

самостоятельные занятия _104 __(часов)

Всего часов _240___________________


Составитель:

к.ф.-м.н., доцент кафедры _КТФ____КемГУ, _Копытов А.В.______


Кемерово, 2007
^
Рабочая программа составлена на основании примерной программы Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, рекомендованной 17.11.03 «УМО Физика»
^

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры


Протокол № ___ от «___» ________ 200__ г.

Зав. кафедрой _________________/ ____________./

(подпись, Ф.И.О.)


Одобрено методической комиссией

Протокол № ___ от «___» ________ 200 __ г.

Председатель___________________/Золотарев М.Л./

(подпись, Ф.И.О.)

^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Рабочая программа составлена на основании типовой программы курса «Методы Математической Физики» для специальности 010701 «Физика», направления 510400 «Физика», утвержденной УМС по физике УМО классических университетов (Москва, 2001г.) и полностью соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта специальности 010400 «Физика» (направления 510400 «Физика»), утвержденного в 2000г.


^ Актуальность и значимость курса

Современное физическое образование требует серьезной подготовки студентов в области физико-математических наук. Курс «Методы Математической Физики» является базовой дисциплиной при подготовке специалистов с физическим образованием, как теоретиков, так экспериментаторов и педагогов и относится к разряду естественных наук, т.е. наук о природе.

  • ^ Цель и задачи изучения курса

Важнейшей целью курса «Методы Математической Физики» является ознакомление студентов с методологией, общими принципами и методами математической физики . Достижение поставленной цели осуществляется путём решения следующих основных задач:

1) ознакомление студентов с основными принципами и законами физики, их математическими выражениями;

2) формирование умения правильно выражать физические идеи и решать конкретные задачи физики;

3) развитие у студентов представления о роли фундаментальной физики в системе естественных наук и путях решения прикладных вопросов на основе физических законов и методов.

  • ^ Место дисциплины в профессиональной подготовке специалиста

Курс «Методы Математической Физики» является одним из основных дисциплин в общей физико-математической и естественно – научной подготовки специалистов физиков. Дисциплина включена в Федеральную компоненту.

  • ^ Структура учебной дисциплины.

Курс «Методы Математической Физики» включает в себя следующие разделы:классификация дифференциальных уравнений с частными производными,основные уравнения матфизики,постановка краевых задач,методы решения,ортогональные полиномы и специальные функции .

  • ^ Особенности изучения учебной дисциплины

Учебная дисциплина «Методы Математической Физики» служит базой для изучения курсов «Основы механики сплошных сред», «Квантовая механика ,Электродинамика».

Учебная дисциплина «Методы Математической Физики» базируется на курсах «Теоретическая механика», «Математический анализ», «Тензорный анализ», «Дифференциальные уравнения» и «Функция комплексных переменных».

  • ^ Формы организации учебного процесса по данной дисциплине

На основе программы и учебного плана в ходе проведения занятий по курсу «Методы Математической Физики» используются различные формы: лекции, практические занятия, самостоятельная работа, контрольные работы, коллоквиумы, экзамен.

  • ^ Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины – основные вопросы программы вынесены как на аудиторные, так и на самостоятельные занятия и согласно программы распределены примерно в отношении 2 : 1.

  • ^ Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

Студент должен понимать и уметь записывать основные уравнения математической физики ,знать методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (метод Фурье, метод Даламбера и метод функций Грина),ставить краевые задачи и давать физическую интерпретацию полученных решений. «Методы Математической Физики»

^ Объем и сроки изучения дисциплины. Курс рассчитан на 100 часов занятий в четвертом семестре, что обусловлено программой подготовки специалистов и планом обучения студентов специальности 010400 «Физика».

^ Виды контроля знаний студентов и их отчетности

По всем основным разделам курса предусмотрены самостоятельные работы, контрольные работы, коллоквиумы (полное описание приведено в тематическом плане). По итогам изучения курса предусмотрен: в конце семестра – зачет.

  • Критерии оценки знаний студентов

1. Посещение лекций, практических занятий (наличие конспекта лекции и практикума).

2. Работа в аудитории у доски.

3. Выполнение домашних работ.

4. Самостоятельная работа (практические задания).

5. Контрольные работы.

6. Коллоквиум.

При выставлении зачета учитываются следующие параметры:

  1. Работа студента в семестре.

  2. Оценка коллоквиума.

  3. Теоретическая часть билета.

  4. Практическая часть билета.

Зачет ставится при отсутствии или отработке всех долгов, решении всех задач и ответе на теоретические вопросы при сдаче зачета.




^ Тематический план





^ Название и содержание разделов, тем, модулей

Объем часов

Формы контроля

Общий

^ Аудиторная работа

Самостоятельная работа

Лекции

Практические (или семинарские)

Лабораторные

1

2

3

4

5

6

7

8

1

Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.




6

6




12

к/р

2

Классификация уравнений в частных производных второго порядка.




8

8




14

к/р

3

Уравнения гиперболического типа (методы решения).




10

10




12

к/р

4

Уравнения параболического типа




10

10




14

к/р

5

Уравнения эллиптического типа




10

10




14

к/р

6

Сферические функции




10

10




12

к/р

7

Цилиндрические функции




8

8




14

к/р

8

Гипергеометрические функции




6

6




12

к/р

























































































































































































































































































































































































































































































































Итого:




















^ Содержание дисциплины

Теоретический курс

по курсу «Методы математической физики»

1. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.

Уравнение малых поперечных колебаний струны. Уравнение продольных колебаний ступеней и струн. Энергия колебаний струны. Поперечные колебания мембраны. Уравнения для напряженности электрического и магнитного поля в вакууме. Граничные и начальные условия. Редукция общей задачи. Постановка краевых задач для случая многих переменных.

2. ^ Классификация уравнений в частных производных второго порядка.

Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Канонические формы уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. Канонические формы уравнений с постоянными коэффициентами.

3. ^ Уравнения гиперболического типа (методы решения).

Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера. Физическая интерпретация. Неоднородное уравнение. Устойчивость решения. Полуограниченная прямая и метод продолжений.

Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны. Интерпретация решения. Неоднородные уравнения. Общая первая краевая задача. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. Общая схема метода разделения переменных.

4. ^ Уравнения параболического типа.

Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач. Линейная задача о распространении тепла. Распространение тепла в пространстве. Постановка краевых задач. Функция источника для уравнения параболического типа. Неоднородное уравнение теплопроводности. Краевые задачи для полуограниченной прямой. Распространение тепла в ограниченном стержне.

5. ^ Уравнения эллиптического типа.

Задачи, приводящие к уравнению Лапласа. Постановка краевых задач. Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций. Решение краевых задач методом функций Грина. Свойство симметрии функции Грина. Особенности функции Грина для двухмерного и трехмерного случая. Физическая интерпретация функции Грина. Метод электростатических изображений. Функция источника для полупространства, полуплоскости, для сферы и круга.

6. ^ Сферические функции

Полиномы Лежандра. Производящая функция и полиномы Лежандра. Рекуррентные формулы. Уравнение Лежандра. Ортогональность полиномов Лежандра. Норма полиномов Лежандра. Нули полиномов Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Норма присоединенных функций. Сферические функции, сферические гармоники, шаровые функции. Ортогональность системы сферических функций.

^ Полиномы Чебышёва-Эрмита. Дифференциальная формула. Рекуррентные формулы. *Норма полиномов Чебышёва-Эрмита. Функции Чебышёва-Эрмита. *Уравнение Чебышёва-Эрмита.

^ Полиномы Чебышёва-Лагерра. Дифференциальная формула. Рекуррентные формулы. Уравнение Чебышёва-Лагерра. Ортогональность и норма полиномов Чебышёва-Лагерра. Обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра.

^ Простейшие задачи для уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор. Ротатор. Движение электрона в кулоновском поле.

7. Цилиндрические функции.

Общее уравнение теории специальных функций. Поведение решений в окрестности х=а, к(а)=0. Постановка краевых задач. Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя. Степенные ряды. Функции Бесселя 1-го рода n-го порядка. Рекуррентные формулы. Функции полуцелого порядка. Асимптомический порядок цилиндрических функций. Краевые задачи для Уравнения Бесселя. Функции Ханкеля и Неймана. Функции мнимого аргумента. Функции Ко(х).

8. ^ Гипергеометрические функции.

Уравнение гипергеометрического типа и его решение. Основные свойства функций гипергеометрического типа. Рекуррентные соотношения. Разложения в степенные ряды. Функциональные соотношения и асимптотические представления. Представления различных функций через функции гипергеометрического типа. Некоторые элементарные функции. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита. Функции второго рода. Цилиндрические функции.

3^ . Тематика и содержание практических занятий

1) «Т и С» – Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 798 с.

2) «Б и К» – Бизадзе А.В., Калинченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1977. – 224 с.

3) «М» – Мисюркеев И.В. Сборник задач по методам математической физики. – М.: Просвещение, 1975. – 168 с.


Тема № 1. (8 часов)

Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Приведение к каноническому виду уравнений гиперболического, параболического и эллиптического вида.

Задачи для аудиторной работы:

«Т и С» – вывод формул для коэффициентов ā11 ā12 ā22, b1, b2. Задачи к главе № 1: задача № 1,а, б, в, г, д, е, ж, з, и. «Б и К» – §1 – № 1-№12; §2 – № 25-36, §3 – № 68-№76.

Задачи для самостоятельной работы:

«Б и К» – §1 – № 13-№ 24, §2 № 37, §3 – № 77-88; № 91, № 97, № 100.


Тема № 2 (4 часа)

Решение уравнений в частных производных методом Фурье (однокамерное уравнение) стр. 126, задача № 1, задача № 17, № 18.


Тема № 3 (4 часа)

Решение уравнения для прямоугольной мембраны.

«М» – № 227, № 229.


Тема № 4 (4 часа)

Решение уравнений параболического вида методом Фурье. «М» – задача № 245.

Тема № 5. (4 часа)

Решение уравнений эллиптического вида:

Найти собственные числа и собственные функции задачи Дирихле для оператора Лапласа для прямоугольника

0<х<а, 0<у<в.


Тема № 6. (4 часа)

Решение уравнений параболического типа методом функций Грина «Т и С» – стр. 213, стр. 222-224.

Распространение тепла на бесконечной прямой. Стр. 228-232.


Тема № 7. (4 часа)

Решение уравнений эллиптического вида методом функций Грина:

Построить функцию Грина для:

а) полупространства;

б) полуплоскости;

в) сферы радиуса R;

г) круга радиуса R.

^ Список основной учебной литературы


Сведения об учебниках

Количество экземпляров в библиотеке на момент утверждения программы

^ Электронный вариант в библиотеке факультета

Наименование, гриф

Автор

Год издания

Уравнения математической физики

^ Тихонов А.Н.,Самарский А.А.

1999

19




Уравнения математической физики

Владимиров В.С.

2004

34




Методы математической физики и специальные функции

Арсенин В.Я.

1984

27




Сборник задач по уравнениям математической физике

Бицадзе А.В.,Калинченко Д.Ф.

1985

83




Сборник задач по математической физике

Бутак Б.М.,Самарский А.А.,Тихонов А.Н.

2004

10



^
Дополнительная литература

  1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. –– М.: Изд-во МГУ, 2000.

  2. Уравнения математической физики: учебно-методическое пособие / Сост. А.В.Копытов, А.В. Кособуцкий. – Кемерово, 2006. – 64 с.

  3. Мисюркеев И.В. Сборник задач по методам математической физики. – М.: Просвещение, 1975. – 168 с.

Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля

Вопросы к экзамену и зачету.

  1. Производящая функция и полиномы Лежандра.

  2. Рекуррентные формулы.

  3. Уравнение Лежандра.

  4. Ортогональность и норма полиномов Лежандра.

  5. Присоединенные функции Лежандра.

  6. Норма присоединенных функций Лежандра.

  7. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах.

  8. Частные решения уравнения Эйлера.

  9. Сферические гармоники и шаровые функции.

  10. Ортогональность системы сферических функций.

  11. Производящая функция и дифференциальная формула для полиномов Чебышёва-Эрмита.

  12. Рекуррентные формулы.

  13. Уравнение Чебышёва-Эрмита.

  14. Норма полиномов Чебышева-Эрмита.

  15. Функции Чебышёва-Эрмита.

  16. Производящая функция и дифференциальная формула для полиномов Чебышёва-Лагерра.

  17. Рекуррентные соотношения для полиномов Чебышёва-Лагерра

  18. Уравнение Чебышёва-Лагерра.

  19. Ортогональность и норма полиномов Чебышёва-Лагерра.

  20. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра.

  21. Стационарное уравнение Шредингера.

  22. Гармонический осциллятор.

  23. Ротатор.

  24. Движение электрона в кулоновском поле.

  25. Общее уравнение теории специальных функций.

  26. Вывод уравнения Бесселя.

  27. Функции Бесселя.

  28. Рекуррентные формулы

  29. Функции полуцелого порядка

  30. Краевые задачи для уравнения Бесселя

  31. Функции Ханкеля и Неймана.

  32. Функции мнимого аргумента.

  33. Приведение к каноническому виду уравнения гипергеометрического типа

  34. Рекуррентные соотношения.

  35. Разложения в степенные ряды.

  36. Некоторые элементарные функции.

  37. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита.

  38. Функции второго ряда.

  39. Цилиндрические функции.

Список примерных задач, выносимых на экзамен

Методы математической физики

  1. Для линейного уравнения

А11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu+f(xy)=0

С помощью преобразования переменных

x=j(х1у) и h=y(х1у)

перейти к уравнению

ā11uxx+2 ā12 uxh22uhh1ux2uh+cu+d(xh)=0

и получить выражения для

ā11, ā12, ā22, β1, β2

  1. Является ли указанное равенство дифференциальным уравнением:

tgu – ux sec2u – 3u + 2 = 0.

  1. Выяснить каким уравнением является следующее выражение:

Uxy+2(ux2+u) – 6xsiny=0.

  1. Определить тип уравнения:

ахх+2uxy+uyy+ux+uy+3u –xy2=0.

  1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения uxx+yuyy=0 и привести его к каноническому виду в области гиперболичности.

  2. Привести к каноническому виду уравнение:

e2xuxx+2ex+yuxy+e2yuyy=0.

  1. Привести к каноническому виду уравнение

uxx+xyuyy=0.

в области эллиптичности

  1. Максимально упростить уравнение с постоянными коэффициентами гиперболического вида:

Uxxuyy= lux+βuy+γu

  1. Максимально упростить уравнение параболического вида:

uxx=uy+ux+bu

  1. Максимально упростить уравнение эллиптического вида:

5uxx+16uxy+16uyy+24ux+32uy+64u=0

  1. Найти собственные значения и собственные функции для уравнения

y¢¢+ly=0

на отрезке 0£x£ с граничными условиями

у(0)=0, у()=0.

12.Найти собственные значения и собственные функции для уравнения

y¢¢+ly=0

на отрезке 0£x£ с граничными условиями у(0)=0, у¢()=0.

13. Найти собственные числа и собственные значения задачи Дирихле для оператора Лапласа в области: 0<х<а, 0<у
14. Найти функцию u(x1t), определяющую процесс колебания струны (0, ), закрепленной на концах с начальным отклонением:



и начальной скоростью равной нулю.

15.Струна закрепленная на концах в начальный момент получает удар от молоточка в точке С. Головка молоточка сконструирована так, что начальная скорость, сообщенная струне выражается формулой:

y(х)=ut(x10)={

16. Найти решение уравнения со стационарной неоднородностью:

utt=a2uxx+AShx

с нулевыми начальными условиями и граничными условиями u(o,t)=B, u(,t)=c в области 0£x£

17. Решить уравнение гиперболического типа:

utt=a2uxx-b2u+A

с условиями u(o,t)=0, u(l,t)=B, u(x,0)=0, ut(x,0)=0; где а, b, А, В, – сonst.

18. Найти решение неоднородного уравнения и выяснить условие резонанса:

utt=a2uxx+

с нулевыми начальными и однородными граничными условиями в области 0£x£.

19. Найти решение для двухмерного волнового уравнения

utt=a2(uxx + uyy)

в случае квадратной мембраны, жестко закрепленной по периметру квадраты со стороной l, с начальным отклонением u(x,y,o)=j (х,у)=А·x·y(, где А>0, достаточно малая величина, без начальной скорости.

20. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0£x£, 0£у£ с закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенной по мембране и перпендикулярной к ее поверхности силой с плотностью

F(x,y,t)=A(x,y)sinwt(t>0).

Рассмотреть случай резонанса.

21. Найти решение однородного уравнения теплопроводности

ut=a2uxx , 0£x£, 0
удовлетворяющие начальному условию u(x,0)= j(x) и однородным граничным условиям.

22. Найти решение неоднородного уравнения теплопроводности

ut=a2uxx + f(x,t)

с начальным условием u(x,0)= j(x) и граничными условиями u(o,t)=u(,t)=0.

23. Найти функцию Грина для полупространства и полуплоскости в случае первой краевой задачи.

24. Построить функцию источника для сферы и круга методом электростатических изображений.

25. С помощью производящей функции y(r,х)=(-1£х£1, 0
26. Получить рекуррентные формулы для полиномов Лежандра.

27. Вычислить норму полиномов Лежандра.

28. Найти собственные значения и собственные функции уравнения



-1<х<1 при условии ограниченности <¥.

29. Найти решения для уравнения Лапласа на сфере с условием ограниченности функции на всей сфере.

30. Получить сферические функции для =1 (р-функция) и =2 (d-функции).

^

Сведения о переутверждении РП на текущий учебный год и регистрация изменений





изменения

Учебный год

^ Содержание изменений

Преподаватель- разработчик программы

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры


Внесенные изменения утверждаю:

^ Декан факультета:













Протокол №_____

«__» _____ 200_ г.


«___» ________ 200_ г.













Протокол №_____

«__» _____ 200_ г.


«___» ________ 200_ г.













Протокол №_____

«__» _____ 200_ г.


«___» ________ 200_г.
Примечание:
Тексты изменений прилагаются к тексту рабочей программы обязательно.

В случае отсутствия изменений и дополнений вместо содержания изменений вносится запись «Принята без изменений».

Скачать, 163.22kb.
Поиск по сайту:

Добавить текст на свой сайт


База данных защищена авторским правом ©ДуГендокс 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
наши контакты
DoGendocs.ru
Рейтинг@Mail.ru
Разработка сайта — Веб студия Адаманов