Загрузка...
Категории:

Загрузка...

Лекция 8: Индукция. Метод математической индукции

Загрузка...
Поиск по сайту:


Скачать 119.39 Kb.
Дата22.03.2012
Размер119.39 Kb.
ТипЛекция
Содержание
База индукции
База: 111 делится на 3 (n=1). Святая правда. В частном 37 получается.Переход
Индукция в алгебре и теории чисел.
База: тождество верно при N=1 (иногда бывают тождества, которые верны, начиная с числа, большего 1!!!)Переход
База: N=1 - и действительно, 1=1(1+1)/2.Переход
База: N=1 - действительно, 1=1.Переход
Индукция в геометрии.
База: 1 прямая - все просто: покрасим 2 части, на которые она делит плоскость, в 2 разных цвета.Переход
База: Для N=1 уже была проверена. При угадывании ответа заодно проверяется база индукции ;-)Переход
Разнообразие индукции в природе.
База: N=1. Ну, единица, сама по себе, уже степень двойки: 1=2.Переход
Подобный материал:

Лекция 8: Индукция.

Метод математической индукции - не просто распространенный метод решения олимпиадных задач, но и способ доказательства многих утверждений в математической науке. (Не случайно эта лекция такая длинная!) Поэтому знать этот метод нужно не только математику-олимпиаднику, но и каждому, кто собирается в дальнейшем изучать высшую математику или теорию алгоритмов. Что же такое индукция?
Часто индукцию сравнивают с падением ряда доминошек: мы толкаем первую доминошку - она падает и задевает вторую. Вторая доминошка от этого тоже падает и задевает третью. Теперь падает третья доминошка, задевает четвертую... - и в итоге падает весь ряд. А происходит это по двум причинам:
1.) Мы толкаем первую доминошку.
2.) Любая доминошка, падая, задевает следующую.
Доказательство по индукции протекает аналогичным образом. У нас есть ряд утверждений (обычно - бесконечно длинный), которые надо доказать. И для этого достаточно доказать всего два утверждения:
1.) ^ База индукции: первое утверждение ряда верно.
2.) Переход индукции: если верно какое-то утверждение ряда (неважно, какое именно), то верно и следующее за ним утверждение ряда. (эти два пункта аналогичны пунктам про падающие доминошки!)
Почему же тогда верны все утверждения ряда? Первое утверждение верно по базе индукции. По переходу индукции мы получаем, что если верно первое утверждение ряда, то верно и второе. Значит, верно и второе утверждение. Еще раз применяем переход: если верно второе утверждение, то верно и третье. Значит, третье утверждение тоже верно. Сделав еще один такой шаг, мы получим, что вернои четвертое утверждение. Затем - пятое, шестое... десятое... сотое... тысячное... миллионное... В общем, верно утверждение ряда со сколь угодно большим номером, то есть любое, то есть каждое - что и требовалось доказать.
Такой ряд утверждений, где у каждого утверждения есть свой порядковый номер ("первое", "второе" и т.п.) по-научному называется "ряд утверждений, занумерованных натуральными числами". И факт наличия в задаче такого ряда следует понимать весьма творчески. Часто имеется одно утверждение (У), но в нем есть какой-то параметр (например, n), являющийся натуральным числом. Тогда первое утверждение ряда (У1) - это утверждение У при n=1. Второе утверждение ряда (У2) - это утверждение У при n=2... сотое (У100) - это утверждение У при n=100 и т.д. Часто утверждение У - это тождество с одной натуральной переменной (иногда и с несколькими - но об этом ниже). Иногда в задаче просят доказать только одно конкретное утверждение ряда (например, У5, У7 или У10) - но это нельзя сделать проще, чем доказать весь ряд по индукции (см. примеры ниже).

Задача 1. Из квадрата 16x16 клеток вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на уголки из трех клеток.
Решение №1: Что делать, если не хочется рассматривать кучу разных случаев вырезания клетки из квадрата 16x16 (как ни сокращай, но 36 принципиально разных случаев там есть)? Давайте посмотрим на квадраты поменьше (но тоже со стороной, равной степени двойки): 8x8, 4x4, 2x2. Для 2x2 доказывать нечего: вырезали любую клетку, и остался один уголок. А вот теперь посмотрим на квадрат 4x4 - он составлен из 4-х квадратов 2x2 (см. рис.). В один из них попадет вырезанная клетка (черная на рис.) - и он разрежется на уголки (т.е., как сказано выше, там будет ровно 1 уголок). Что же делать с тремя другими? (это и есть самый сложный для момент в задаче!) А давайте возьмем в этих трех квадратах уголок, прилежащий к центру большого квадрата - и отрежем его (серые клетки на рис.). Тогда у нас останется три квадратика 2x2 с вырезанной клеткой - а их мы уже умеем разрезать на уголки.



Теперь перейдем от 4x4 к 8x8: квадратик 8x8 составен из четырех квадратиков 4x4. В одном из них есть вырезанная клетка, а в остальных трех мы вырежем по клетке, отрезав прилежащий к центру уголок (аналогично предыдущему). Теперь образуется 4 квадратика 4x4, в каждом из которых вырезана клетка. Каждый из них мы умеем разрезать на уголки - значит, разрежем и весь квадрат 8x8. А от квадрата 8x8 можно точно так же перейти к квадрату 16x16, составив его из четырех частей - получаем ч.т.д (пример разрезания всего квадрата 16x16 на уголки - см. рис. внизу).



Решение №2: (то же самое, но с волшебным словом "индукция") Докажем по индукции следующее утверждение: квадрат 2nx2n с одной вырезанной клеткой можно разрезать на уголки из трех клеток.(На самом деле, здесь спрятан бесконечный ряд утверждений: про квадрат 2x2, 4x4, 8x8, 16x16... 1024x1024 и т.д.)
База: Квадрат 2x2 с одной вырезанной клеткой можно разрезать на уголки. Это верно, т.к. после вырезания клетки от квадрата 2x2 остается один уголок.
Переход: Если квадрат 2nx2n с одной вырезанной клеткой можно разрезать на уголки, то можно разрезать и квадрат 2n+1x2n+1. Действительно, квадрат 2n+1x2n+1 составлен из четырех квадратов 2nx2n. В одном из них вырезана клетка, а в остальных трех квадратах вырежем по клетке, отрезав уголок, прилежащий к центру исходного квадрата. Тогда каждый из этих четырех квадратов можно будет разрезать на уголки по предположению индукции, значит, можно разрезать и исходный квадрат, ч.т.д.
Замечание: предположением индукции называется предположение о верности очередного утверждения ряда, из верности которого мы в переходе индукции доказываем верность следующего утверждения ряда.

(!) Когда задача решается по индукции, то решение записывается в стиле, похожем на решение №2. Но придумывается оно часто в стиле решения №1 - так бывает удобнее, особенно для начинающих ;-)
А настоящее овладение методом- это умение придумывать решение сразу таким, как оно будет записано ;-)

Задача 2. Докажите, что число из 243 единиц делится на 243.
Решение №1: Давайте опять попробуем что-нибудь попроще. Например, 111 делится на 3, а число 111111111 - на 9. Это, конечно, правда, по общеизвестным признакам делимости на 3 и на 9 (на 3 и на 9 делится сумма цифр этих чисел). Но дальше признаки делимости заканчиваются :(
Что же делать? Давайте по-другому докажем, что 111111111 делится на 9 - так, чтобы можно было из этого сделать переход в общем виде. Конечно, надо пользоваться тем, что в общем виде будет предположением индукции: 111 делится на 3. А давайте 111111111 на него поделим - в частном будет 1001001. Это частное, конечно, делится на 3 (по тому же признаку). А произведение двух чисел, делящихся на 3, делится на 9.
Идем дальше: почему число из 27 единиц делится на 27? Поделим его на 111111111 и получим в частном 1018+109+1. Это частное опять делится на 3 (его сумма цифр 3), а делитель, как мы уже знаем, на 9. Поэтому число из 27 единиц делится на 9*3=27. Само это число будет делителем числа из 81 единицы, и в частном получается уже 1054+1027+1 - все равно оно на 3 делится, по тем же причинам. А число из 81 единицы поделится тогда на 27*3=81, что и следовало ожидать. Еще один такой же переход - и мы получим, что число из 243 единиц делится на 243, ч.т.д.
(!) Важная мысль: здесь, переходя к предыдущим шагам, мы уменьшаем уже не один, а оба параметра: число, которое должно делится, и число, на которое оно должно делится.
Решение №2: (опять то же самое, но сторого индуктивно записанное) Докажем по индукции утверждение: число из 3n единиц делится на 3n (т.е. бесконечный ряд утверждений при разных натуральных n).
^ База: 111 делится на 3 (n=1). Святая правда. В частном 37 получается.
Переход: Заметим, что число из 3n+1 единиц делится на число из 3n единиц, и в частном будет 102*3n+103n+1 (т.е. число из трех единиц и кучи нулей). Делитель, по предположению индукции, делится на 3n, а частное - на 3 (т.к. его сумма цифр 3). Значит, число из 3n+1 единиц делится на 3n*3=3n+1, ч.т.д.
Замечание: Можно доказать, опять же по индукции, что число из 3n единиц содержит 3 в степени ровно n. При n=1 это верно (база), а дальше заметим, что частное от деления числа из 3n+1 единиц на число из 3n единиц делится только на 3, но не на 9, т.к. его сумма цифр равна 3 (переход).

^ Индукция в алгебре и теории чисел.
Самый распространенный случай применения индукции - доказательство алгебраических формул, а именно - тождеств с натуральной переменной. Как показывает опыт, дети-школьники плохо воспринимают понятие тождества. Специально для них объясняю: "тождество - это такое уравнение, решением которого будет любое число" (если речь тождество с натуральной переменной - то любое натуральное число). Или любой набор чисел, если в тождестве несколько переменных.
Ограничимся пока тождествами с одной натуральной переменной (обозначим ее пока буквой N). Такое тождество можно рассматривать, как ряд утверждений: первое утверждение - "тождество верно при N=1", второе - "тождество верно при N=2"... десятое - "тождество верно при N=10" и т.д. И такой ряд утверждений можно (а часто и нужно!) доказывать по индукции. То есть, доказать нужно следующее:
^ База: тождество верно при N=1 (иногда бывают тождества, которые верны, начиная с числа, большего 1!!!)
Переход: если тождество верно при каком-то значении N, то верно и при значении N, на единицу большем.
Обычно говорят: "если тождество верно для N, то оно верно и для N+1". За этим кроется такая подтасовка: исходно буква N обозначает переменную, а доказывая переход, мы обозначаем той же буквой конкретное значение этой переменной (то, что тремя строчками выше называется "каким-то значением N"). Тогда условие индукционного перехода записывается точно так же, как и тождество, которое надо доказать. А утверждение, которое нужно вывести из этого условия, есть результат подстановки в это тождество N+1 вместо N. Поэтому обычно говорят "подставим вместо N N+1". Рассмотрим подробнее на примере:

Задача 3. Докажите, что 1+2+...+N=N(N+1)/2 (такие числа называются "треугольными": 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28...).
Решение: Докажем по индукции (обычно говорят "докажем индукцией по N", т.е. по переменной, значением которой нумеруются утверждения в ряду).
^ База: N=1 - и действительно, 1=1(1+1)/2.
Переход: Пусть тождество верно для какого-то значения N, которое мы теперь тоже обозначим за N. Надо доказать, что оно верно и для значения, на 1 большего, т.е. (в новом смысле буквы N) для N+1. Теперь предположение индукции будет выглядеть, как 1+2+...+N=N(N+1)/2, а то, что надо доказать - как результат подстановки сюда N+1 вместо N, т.е. 1+2+...+N+(N+1)=(N+1)(N+2)/2.
Техническая часть - из одного равенства вывести другое - трудностей не представляет: 1+2+...+N+(N+1) = N(N+1)/2+(N+1) - по предположению индукции (т.е. по первому равенству). А это равно (N+1)(N/2+1) = (N+1)(N+2)/2, ч.т.д.

Задача 4. Докажите, что 1+3+...+(2N-1)=N2 - сумма первых N нечетных чисел равна N2.
Решение: Докажем индукцией по N, но теперь эту идейную подтасовку будет опускать.
^ База: N=1 - действительно, 1=12.
Переход: Предположение индукции: 1+3+...+(2N-1)=N2 - так и пишут в индуктивных доказательствах, скрывая ту подтасовку, которая была продемонстрирована в решении предыдущей задаче (и сбивая с толку тех, кто плохо понимает метод индукции!). Утверждение, которое надо доказать: 1+3+...+(2N-1)+(2*(N+1)-1) = (N+1)2 - т.е. 1+3+...+(2N-1)+(2N+1) = (N+1)2. Его левая часть, по предположению индукции - это N2+2N+1, что, конечно же, равно (N+1)2, ч.т.д.

Упражнение: Докажите по индукции следующие формулы:
12+22+...+N2=N(N+1)(2N+1)/6; 1*2+2*3+...+(N-1)*N=(N-1)N(N+1)/3 (тут база N=2, а не N=1!)
13+23+...+N3=(N(N+1)/2)2; 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(N-1)N=(N-1)/N
1+X+X2+...+XN=(XN+1-1)/(X-1) - в этом тождестве есть еще буква X, но индукция ведется по N(!)
(1-1/4)(1-1/9)...(1-1/N2)=(N+1)/2N

Типичные тождества, доказываемые по индукции - сворачивание сумм или произведений, т.е. тождества вида F1+F2+...+FN=SN или F1*F2*...*FN=PN (именно такие и бывали в наших примерах и упражнениях). В этих случаях индукционный переход состоит в выведении из предположения индукции (а оно формулируется так же, как исходное тождество!) равенства F1+F2+...+FN+FN+1=SN+1 или F1*F2*...*FN*FN+1=PN+1. Технический рецепт тут такой: пользуясь предположением, получаем F1+F2+...+FN+FN+1=SN+FN+1 или F1*F2*...*FN*FN+1=PN*FN+1. А далее остается проверить тождество SN+FN+1=SN+1 или PN*FN+1=PN+1, что обычно проблемы не представляет. Иногда лучше перенести в другую часть и доказывать, что FN+1=SN+1-SN или FN+1=PN+1/PN соответственно. Вообще (см. также задачи 5 и 6), в утверждении, которое надо доказать в переходе, всегда надо выделить часть формулы, с которой можно разобраться, применяя предположение (!).

Иногда (но редко!) методом индукции успешно решаются неравенства, содержащие натуральную переменную. Здесь основная идея перехода - доказывать, что приращение той части, которая больше, больше приращения другой части

Задача 5. Докажите, что 2N>N при любом натуральном N.
Решение: Докажем индукцией по N (и тут, и далее в переходе применяется все та же идейная подтасовка!).
База: N=1 - действительно, 21=2>1.
Переход: Предположим, что при некотором N 2N>N. Теперь докажем, что 2N+1>N+1. Действительно, 2N+1=2*2N>2N по предположению. А 2N>=N+1 при всех N (очевидно), откуда 2N+1>N+1, ч.т.д.

Доказательство делимости по индукции мы уже видели в задаче 2. Вот еще один типичный пример:

Задача 6. Докажите, что 32N+2+8N-9 делится на 16 при любом натуральном N.
Решение: Докажем индукцией по N.
База: N=1 - действительно, 32*1+2+8*1-9=80 - делится на 16.
Переход: Уже известная махинация сводит доказательство перехода к следующему утверждению: если 32N+2+8N-9 делится на 16, то 32(N+1)+2+8(N+1)-9 делится на 16. Последнее число равно 32N+4+8N+8-9 = 9*32N+2+8N+8-9 = 8*32N+2+32N+2+8N+8-9 = 8*(32N+2+1)+32N+2+8N-9 Сумма последних трех слагаемых делится на 16 по предположению, а первое - как произведение 8 и четного числа 32N+2+1, ч.т.д.

^ Индукция в геометрии.
Для индукции нужен параметр, по которому ее можно провести, натуральная переменная, значением которой можно занумеровать ряд утверждений. Где же ее - переменную - взять в геометрии?
Ответ неожиданно прост: количество фигур или структурная сложность фигуры. Переход тогда производится от меньшего числа фигур к большему или от более простой фигуры к более сложной (хороший пример последнего - удвоение клетчатой доски в задаче 1).

Задача 7. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние были разных цветов (как принято говорить, "шахматная раскраска").
Решение: Докажем индукцией по количеству прямых.
^ База: 1 прямая - все просто: покрасим 2 части, на которые она делит плоскость, в 2 разных цвета.
Переход: (от N прямых к N+1 прямой) Временно сотрем одну прямую. По предположению индукции, полученную картинку (на ней уже не N+1 прямая, а N) раскрасить можно. Теперь вернем стертую прямую на место. Ясно, что все пары соседних областей одного цвета граничат как раз по этой прямой. Так давайте по одну сторону от нее перекрасим все области в противоположный цвет (все, а не только те, которые с ней граничат!) Тогда новых соседних областей одного цвета по эту сторону не появится, а те, которые граничили по этой прямой, станут разных цветов - и мы получаем искомую раскраску, ч.т.д.
Упражнение: Докажите то же самое, если плоскость поделена не только прямыми, но и окружностями.

Задача 8. А на сколько областей делят плоскость эти N прямых, если они в общем положении?.
Решение: "В общем положении" - это когда никакие прямые не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. Одна прямая поделит плоскость на 2 части, 2 прямых - на 4 части, 3 прямых - (см. рис) на 7 частей, 4 прямых (если не лень их провести) - на 11 частей. Кажется, что при добавлении N-й прямой число частей увеличивается на N. То есть ответ будет 1+(1+2+...+N) - на 1 больше треугольного числа. Это мы угадали. А давайте теперь докажем (часто в задачах на индукцию ответ надо угадывать).



^ База: Для N=1 уже была проверена. При угадывании ответа заодно проверяется база индукции ;-)
Переход: (проведем его, для разнообразия не "от N к N+1", а "от N-1 к N"). Пусть N-1 прямых разбили плоскость на 1+(1+2+...+(N-1)) частей. Добавим N-ю прямую: она пересечет все предыдущие и притом в различных точках (потому что они в общем положении!), поэтому она пересечет N областей. Каждая область от этого поделится на две, поэтому число областей увеличится на N и станет равно 1+(1+2+...+N), ч.т.д.
Замечание: Ответ можно, согласно задаче 3, записать как 1+N(N+1)/2.

Задача 9. Докажите, что существует многоугольник с любым числом сторон (начиная с четырех), имеющий ровно три острых угла.
Решение: Докажем индукцией по числу сторон многоугольника (это есть "структурная сложность фигуры").
База: N=4. Построить четырехугольник с тремя острыми углами нетрудно. Например, пристроив к основанию равнобедренного треугольника с углами 20, 20, 140, равносторонний треугольник с такой же стороной, получаем четырехугольник с углами 60, 80, 80, 140 (все углы в градусах!).
Переход: (от N сторон к N+1 стороне) Давайте возьмем какой-нибудь тупой угол нашего N-угольника (а их у нас целых N-3) и "отпилим" (как по пунктиру на рис.). Появятся два новых тупых угла (они тупые, так как смежные с ними острые - они лежат в одном треугольнике с исходным тупым углом), т.е. мы получим N+1 угольник. А три острых угла в нем останутся, ч.т.д.



^ Разнообразие индукции в природе.
Схема "есть ряд утверждений, докажем, что верно первое и что из каждого предыдущего следует следующее - тогда мы докажем все" - не единственная схема индукции. Рассмотрим другие варианты на примерах.

Задача 10. X+1/X - целое. Докажите, что XN+1/XN тоже целое при любом натуральном N.
Решение: Попробуем провести индукцию по N. Начнем с перехода - докажем, что XN+1+1/XN+1 целое (N, повторяю, в формулировке перехода играет роль не переменной, а ее значения). Попробуем воспользоваться целостью XN+1/XN. Умножим его тоже на что-нибудь целое, чтобы в произведении вылезало XN+1+1/XN+1 - на X+1/X, например. (XN+1/XN)(X+1/X)=XN+1+1/XN+1+XN-1+1/XN-1 - вылезло предыдущее слагаемое, со степенью N-1. Конечно, если оно целое и XN+1/XN тоже, то нет сомнений, что XN+1+1/XN+1 целое. А ясно, что раз уж XN+1/XN целое, то XN-1+1/XN-1 - предыдущее слагаемое - тем более. Как же это строго записать?
Переход: Если два выражения вида XN+1/XN с подряд идущими значениями N целые, то и при следующем значении N выражение целое (то есть, обозвав буквой N значение, мы получаем переход от N-1 и N к N+1). Это мы только что научились доказывать. А какая должна быть база такой индукции?
База: X+1/X и X2+1/X2 целые. Т.е. мы проверяем базу при N=1 и N=2. Первое верно по условию, второе - из равенства X2+1/X2=(X+1/X)2-2, ч.т.д.
Правильность такой индукции вне сомнений: при N=1 и N=2 доказываемое утверждение (т.е. первые два утверждения ряда) верно по базе. Если верно при N=1 и N=2, то, согласно переходу, верно и при N=3. Теперь, раз верно при N=2 и N=3, то верно и при N=4 . Далее - при N=5, 6 и т.д.

Задача 11. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы различных степеней 2.
Решение: Здесь мы используем вторую по распространенности схему индукции: "переход от всех чисел, не больших N, к N+1" или "от всех чисел, меньших N, к N". То есть верность очередного утверждения ряда следует из верности не одного, а всех предыдущих. Действительно, если верно первое утверждение (т.е. есть представление для 1), то верно и второе (есть представление для 2). Если верны первые 2, то верно и третье (представление для 3). Если же верны первые три утверждения, то из них следует четвертое и т.д.
^ База: N=1. Ну, единица, сама по себе, уже степень двойки: 1=20.
Переход: Докажем, что если есть представления у всех меньших чисел, то есть и у N. Пусть 2m<=N<2m+1, т.е. m - показатель максимальной степени 2, не превосходящей N. Если N=2m, то представление найдено. Если нет, то вычтем из N 2m: 0m<2mm, то m-й степени в этом представлении не будет и, добавив к нему 2m, мы получим представление N в виде суммы различных степеней 2, ч.т.д.

(!) Особой хитростью отличается известное индукционное доказательство неравенства о средних: среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, т.е. (X1+X2+...+XN)/N>=(X1*X2*...*XN)1/N. Подробную его разработку мы оставляем читателям в качестве упражнения, приведем только план.
1.) Докажем как-нибудь базу: неравенство при N=2.
2.) Применяя базу, доказываем переход от N к 2N - таким образом, мы докажем неравенство для N=4, 8, 16... и для всех степеней двойки.
3.) Теперь, вставляя лишнее число, равное какому-то среднему остальных, мы придумываем переход от N к N-1. Поскольку для каждого натурального числа есть большая его степень двойки, то мы доказали неравенство при всех значениях N.

Не забывайте и о таком методе, как индукционный спуск. Здесь мы берем какой-то ряд утверждений, берем произвольное утверждение ряда и начинаем его доказывать. Его доказательство мы сводим к доказательству правильности предыдущего (или одного из предыдущих, или нескольких предыдущих) утверждений - так же, как в обычном переходе индукции. А теперь скажем: "давайте и это утверждение доказывать так же, как исходное" - мы сведем его к какому-то, стоящему в ряду еще раньше. Понятно, что повторяя эту операцию, мы сведем все к проверке верности первого (или нескольких первых) утверждений, т.е. к тому, что проверяется в базе индукции. Проверим еще и это - и весь ряд доказан.





Скачать, 1042.53kb.
Поиск по сайту:

Добавить текст на свой сайт
Загрузка...


База данных защищена авторским правом ©ДуГендокс 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
наши контакты
DoGendocs.ru
Рейтинг@Mail.ru