Загрузка...
Категории:

Загрузка...

С. Л. Самостоятельная работа 8

Загрузка...
Поиск по сайту:


Скачать 235.8 Kb.
Дата02.04.2012
Размер235.8 Kb.
ТипСамостоятельная работа
Содержание
1. Сформулируйте античное понимание математики, положив в основу платоновскую концепцию, в русле которой написаны «Начала» Евкли
Подобный материал:

Катречко С.Л.

Самостоятельная работа 8. Категориальный базис современной математики: основные концепты

(см. форумы «Философские проблемы математики» (http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil09), «Категориальный базис математики» (http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil13), а также сам/раб. «Что такое математика? Онтологический статус математических объектов» http://www.philosophy.ru/library/katr/sam12.html)


Методологическим основанием для написания этой работы является «категориальная сетка» Аристотеля (см. его текст «Категории» + «Введение» Порфирия и комментарий Боэция), которая имеет универсальный характер и предназначена для описания физического мира. Математическая реальность же, согласно античным представлениям (Пифагор, Платон, Аристотель), отличается от физического мира и занимает как бы «среднее» положение между платоновскими мирами «вещей» и «идей».

Начало математико-философской традиции положила школа Пифагора. Платоновские взгляды на природу числа представлены в диалоге «Парменид» (см. интерпретация П.П.Гайденко, и другие интерпретации), а на природу математического знания в диалоге «Государство» (фр. «гносеологическая линейка», кн. 6). Из более поздних представителей неоплатонизма можно выделить работу Плотина «Эннеады» (VI.6 «О числах»: http://www.philosophy.ru/library/plotin/01/29.html). Развернутая позиция платоновской школы представлена в более позднем тексте Прокла «Комментарий к первой книге «Начал» Евклида (см. Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение (zip-файл из библ. Центр антиковедения), а также на сайте http://cyrill.newmail.ru/index2.html «Библиотеки античной литературы» — http://cyrill.newmail.ru/procl_euclid_1.txt; http://cyrill.newmail.ru/procl_2.txt = часть 1; часть 2). Хороший разбор пифагоро-платоновской концепции дан в учебнике П.П. Гайденко «История античной философии в ее связи с наукой» (см. фр. Платон и Прокл о математике).

Аристотель же в своем трактате «О душе» выделяет три типа форм, или три типа абстракции (см. концовку фрагмента, приведенного чуть ниже; выделено жирным мной — К.С.): 1. форма физическая, или форма телесная (NB: это тоже абстракция, т.к. здесь абстрагируются от конкретной вещи); 2. форма математическая — отвлечение от телесности и движения), изучение общего, или количества; 3. форма метафизическая — изучение сущего самого по себе (ср. с различением из «Метафизики» о том, что физика изучает сущее как оно причастно к движению, а метафизика — сущее само по себе):

«Однако рассуждающий о природе и диалектик по-разному определили бы каждое из этих состояний души… Последний приводит в объяснение материю, первый — форму и сущность, выраженную в определении (logos). Ведь сущность вещи, выраженная в определении, есть ее форма, и если вещь имеется, то форма необходимо должна находиться в определенной материи; например, сущность дома, выраженная в определении, такова: дом есть укрытие, защищающее от разрушительных действий ветров, дождей и жары; другой же скажет, что дом состоит из камней, кирпичей и бревен, а третий будет говорить о форме в них, имеющей такие-то цели. Итак, кто из них есть рассуждающий о природе? Тот ли, кто касается лишь материи, не обращая внимания на выраженную в определении сущность, или тот, кто касается только ее? Или же скорее тот, кто исходит из того и другого? Но кто же такой в таком случае каждый из первых двух? Разве есть такой, кто изучал бы состояния материи, не отделимые от нее, и не рассматривал бы их как отделимые? Рассуждающий же о природе изучает все виды деятельности и состояния такого-то тела и такой-то материи. А то, что не таково, изучает другой, при случае — сведущий в искусстве, например строитель или врачеватель; свойства же, которые хотя и неотделимы от тела, но, поскольку они не состояния определенного тела и берутся отвлеченно от тела, изучает математик (выделено мной. — К.С.); отделенное же от всего телесного как таковое изучает тот, кто занимается первой философией» (Аристотель, «О душе», кн.1, гл.1 (конец) 403а25; т.1.с.374)

Сформулируем первый вопрос данной работы:

^ 1. Сформулируйте античное понимание математики, положив в основу платоновскую концепцию, в русле которой написаны «Начала» Евклида.


Но Ваша главная задача заключается в том, чтобы продумать категориальный базис современной математики (resp. для студентов ВМиК — вычислительной математики, если Вы считаете, что вычислительная математика принципиально отличается от других типов математических дисциплин). При написании своих работ можно обратиться к опыту осмысления проблематики математической реальности студентами прошлых лет (см. форум «Философские проблемы математики» http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil09, а также форум, привязанный к этой сам. работе: http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil13).

Попробуйте выделить основные «составляющие» этого базиса, т.е. основные концепты математики (вычислительной математики), к которым можно отнести понятия ЧИСЛА, МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ (resp. ИНФОРМАЦИИ, АЛГОРИТМА). Дайте свою характеристику важнейших (или важнейшего) концепта (конечно, для этого не надо просто переписать его определение из какого-либо учебника!). В качестве «затравки» для продумывания этих концептов можно рекомендовать представленные ниже заметки, а также работы участников Всероссийского семинара по философии математики, которые представлены на http://www.philosophy.ru/library/math/. (см. их сборники «Бесконечность в математике» (1997), «Социокультурная философия математики» (1999) (http://www.philosophy.ru/library/fm/) и материалы к сборнику «Математика и опыт» (http://www.philosophy.ru/library/math/ и мой текст http://www.philosophy.ru/library/katr/katrechko_philmath2001.html).

Особое внимание здесь следует уделить осмыслению общепринятой в наши дни теоретико-множественной парадигмы (заметим, что в ее рамках написано большинство современных учебников по математике ?). Определенный вариант этой парадигмы связан с подходом Н.Бурбаки (см. в этой связи концептуальное изложение их взглядов в статье «Архитектура математики» (http://www.philosophy.ru/library/math/burbak1.html + мой текст об этой парадигме: http://www.philosophy.ru/library/katr/logic/mathlek.html). Критика концепции Н. Бурбаки (или теории множеств в целом) содержится в работах В.И. Арнольда (см. http://www.mccme.ru) и А.А. Зенкина (см. http://www.com2com.ru/alexzen и его статьи «Научная контрреволюция в математике» http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html; «Ошибка Кантора» http://www.com2com.ru/alexzen/papers/vf1/vf-rus.html). В этой связи выразите свое отношение к проблеме парадоксов в теории множеств (см. гл. «Концепт МНОЖЕСТВО» ниже):

3. В чем суть теоретико-множественных парадоксов? Преодолимы ли они, на Ваш взгляд? Может ли теория множеств выполнять роль фундамента математики, или же парадоксы теории множеств свидетельствуют о необходимости поиска другого — надежного — основания? (вместо этого вопроса Вы можете ответить на один из вопросов в прил., взятый из сам/раб. «Что такое математика?» http://www.philosophy.ru/library/katr/sam12.html)


Лит–ру по теме см. на моей учебной странице http://www.philosophy.ru/library/katr/1_text.html в разд. «Философские проблемы науки, математики, логики»


Концепт ЧИСЛО

Помимо уже упомянутой выше античной (пифагоро-платоновской) концепции ЧИСЛА, представленной в тексте Прокла «Комментарий к первой книге «Начал» Евклида (см. этот текст на http://cyrill.newmail.ru/index2.html «Библиотеки античной литературы» — http://cyrill.newmail.ru/procl_euclid_1.txt; http://cyrill.newmail.ru/procl_2.txt), здесь рекомендуется освоить основополагающую работу Г. Фреге «Основоположения арифметики» (логико-математическое исследование о понятии числа) (Г. Фреге Основоположения арифметики (zip-Word) + фр. «Концепция числа Г.Фреге» ("Основоположения арифметики", пар.45-77; 87-91: (zip-Word)). См. также другие его работы, представленные в «текстовой» разделе «Философские проблемы математики…» (www.philosophy.ru/library/katr/1_text.html). См. также мою работу «О концепте ЧИСЛА» (http://www.philosophy.ru/library/katr/katrechko_philmath2002.html), а также тексты семинара по философии математики (см. http://www.philosophy.ru/library/math/number/, например, интересна статья С.Н. Бычкова «КАК ЧИСЛА СТАЛИ АБСТРАКТНЫМИ?»).


Концепт МНОЖЕСТВО (см. прил.)

Здесь основополагающими являются работы Г. Кантора по теории множеств, представленные в его сборнике работ «Труды по теории множеств» (1985) (см. также работы, посвященные осмыслению взглядов Кантора: (1) Медведев Ф.А. «Развитие теории множеств в XIX в»; Катасонов В.Н. «Боровшийся с бесконечным» (1999)). Более современная трактовка понятия множества как класса дана в работе Б. Рассела «Введение в математическую философию» (глава «Классы» + см. также мое «разрешение» парадокса Рассела: http://www.philosophy.ru/library/katr/logic/paradox1.html).

Различные (канторовские) трактовки понятия множества можно найти в работе Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств (http://www.philosophy.ru/library/math/bytc_kantor.html (или /bytc_kantor.zip); см. подборку определений из работ Кантора в прил.). В моих работах «Теоретико-множественная парадигма современной математики и ее альтернативы» (http://www.philosophy.ru/library/katr/logic/mathlek.html), «О различении отрицаний» (http://www.philosophy.ru/library/katr/logic/nego1.html) и «О парадоксе Рассела» (http://www.philosophy.ru/library/katr/logic/paradox1.html) обсуждается проблема различных интерпретаций понятия множества, а также концептуальное различие между понятиями канторовского множества и расселовского класса (см. прил.). Например, один из студентов мехмата предложил понимать множество как «коробку», в которой сложены вещи–элементы. Замечу, что при таком понимании множества расселовская постановка вопроса о принадлежности множества всех множеств будет просто некорректной.


Концепт ФУНКЦИЯ (набросок!)

Первоначальный подход к определению функции можно найти у И. Канта. В своей «Критике чистого разума» он определяет ее так: «под функцией же я разумею единство деятельности, подводящей различные представления под одно общее представление» [КЧР, с. 80]. Тем самым суть функции (функциональности) заключается в [функции] единения, т.е. функция имеет сущностно объединительный смысл: например, Кеплеру удалось «объединить» в единую функцию, существующие астрономические данные о движении планет (таблицы Тихо Браге). Так ли сейчас понимается функция в математике, или взгляды Канта устарели? Как Вы думаете, можно ли именно концепт функции рассматривать как основной концепт математики, т.е. рассматривать его как более фундаментальное понятие по сравнению с понятием множества?


Концепт ИНФОРМАЦИЯ (ИНФОРМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА)

В данном случае можно отослать к работам основоположника кибернетики Н. Винера, а также к классическим работам К. Шеннона, А.Н. Колмогорова по теории информации. Интересна в этой связи и работа советского мыслителя Ф.В. Турчина, создателя языка «Рефал», который в своем «Кибернетическом манифесте» выразил оригинальное понимание кибернетического подхода в качестве общекультурной парадигмы (см. его ключевой текст «Феномен науки» http://refal.net/turchin/phenomenon/index.htm), в которой он развивает концепцию «метасистемных переходов»).

В философском плане интересно соотношение концептов «информация» и «знание». В качестве начальной проработки можно рекомендовать мой набросок «Знание и информация» (http://www.philosophy.ru/library/physics/know_and_inf.doc), в которой сформулированы некоторые ключевые вопросы (проблемы) по этой теме.


Концепт АЛГОРИТМ (АЛГЕБРА, ВЫЧИСЛЕНИЕ)

Здесь следует напомнить, что понятие алгоритма (и, соответственно, название «алгебры») восходит к имени известного средневекового мыслителя Средней Азии Аль-Хорезми. Каково соотношение алгоритма и функции?

В философском плане было бы интересно осмыслить соотношение алгебры и арифметики и «выявить» место алгебры в составе традиционного (идущего с античности) понимания математики как симбиоза арифметики и геометрии. Об этой проблеме размышляет один из крупнейших математиков XX столетия Г. Вейль в своем докладе «Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике». Из более современных можно выделить текст И. Шафаревича «Основные понятия алгебры» (см. его «Введение» http://rcd.ru:8101/books/pdf/soderzh/shafar.zip)

При осмыслении понятия АЛГОРИТМА можно обратиться к работе А.А. Маркова и Н.М. Нагорного «Теория алгорифмов», к статьям Н.А. Шанина (глава ленинградской школы конструктивной математики; его статьи можно найти в Инете). Интересны также работы по С.Ю. Маслова «Теория дедуктивных систем и ее применения» (1986), Дж. Булос и Р. Джеффри «Логика и вычислимость» (1994), А. Черч «Введение в математическую логику» (1961) (логическая проработки темы вычислимости), Е.Д. Смирновой «Логика и философия» (1996; логико-философская проработка темы).

Из более современных алгоритмических проблем можно выделить так называемую P-NP — проблему (см. ее изложение и подходы к ее решению в книге Гэри М., Джонсон Д. «Вычислительные машины и трудно решаемые задачи» (1982)) и квантовые вычисления (см. подборку статей на ../library/katr/1_text.html; или on-line журнал «Квантовые компьютеры и вычисления» http://rcd.ru/qc/contents/v99-2_r.html; или сайт Московского Центра Непрерывного Математического Образования (www.mccme.ru).

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


ПРИЛОЖЕНИЕ. Канторовский подход к введению понятия множества 1

(фрагмент из ст.: Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств)


По Кантору, в понятии множества вперед выступает единое, понимание множества как целостности, образованной в результате действия определенного закона его формирования. Что же касается множественности (элементов множества), то у Кантора она отступает на второй план. С целью оттенить приоритет единства по отношению к множественности Кантор, в частности, неоднократно указывал на то, что нейтральное немецкое слово «Menge» (совокупность) не выражает сути множества, и что таковая лучше передается семантически более определенным французским термином «ensemble» или итальянским «insieme», подчеркивающими идею единства (элементов множества). Теперь дадим несколько определений Кантора, которые можно рассматривать как эволюцию и уточнение взглядов Кантора на основополагающее для него понятие множества.

В примечании к работе «Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном» (1883) дается такое определение множества:

«Под «многообразием» или «множеством» я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона, и таким образом я думаю определить нечто, родственное платоновскому ί... Он [Платон] противопоставляет его α’у, т.е. безграничному, неопределенному, называемому мною несобственно бесконечным, равно как и ’у, т.е. границе, и называет его упорядоченной смесью этих последних» (Кантор 1985, с.101).

Серия «философских» определений понятия множества содержится также в переписке Кантора с Давидом Гильбертом (1897-1900 гг.). В одном из писем Кантор характеризует завершенное множество так: «Я говорю о множестве как о завершенном — и такие множества, если они содержат бесконечно много элементов, я называю «трансфинитными»... — если возможно (как в случае конечных множеств) все их элементы мыслить без противоречия как некоторую целостность. Таким образом, множество должно мыслиться как единая вещь в себе, т.е. должна существовать возможность помыслить множество как актуально существующую целостность всех его элементов... По этой причине слово «множество» (когда оно конечно или трансфинитно) я перевел на французский язык как «ensemble», а на итальянский — как «insieme»…» (2.10.1897; Purkert 1989, p.61).

В своей итоговой работе «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (1895) Кантор дает ставшее классическим определение понятия МНОЖЕСТВА:

«Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое М определенных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества М (Кантор, 1985, 173).


Катречко С.Л.

Что такое множество? (заметка от 8.03.2002 г.)


Для концептуального анализа понятия множества необходимо разобрать «составляющие» этого концепта. Формульно множество задается так: х  Х. А это значит, что концепт «множество» зависит от понимания «элемента множества» (х–малое) и «отношения принадлежности» (). Множество — это «многое, мыслимое как целое». Т.е. множество — не простой набор или совокупность предметов. Если мыслить множество так, то это сделал Ст. Лесьневский в своем понятии «класса» (целого) (см. его мереологию), или, если дать более точный образ, то это «куча», где (1) предметы сохраняют свою самостоятельность, (2) выполняется условие, что целое = (любой) сумме своих частей (шар = сумме половинок, и сумме четвертей, и сумме третей (причем все эти суммы равны друг другу)) + части однотипны (в теории множеств части могут быть разнотипны); (3) части и целое имеют один и тот же онтологический статус (целое существует в том же смысле, что и части). Второй аналог отношения «часть — целое» — родо-видовые отношения. Здесь явно целое больше своих частей и имеет другой онтологический статус. (Я не знаю, формализовано ли именно это отношение в явном виде; м.б., это сделал Куайн в своей аксиоматике теории множеств NF?). Третий возможный аналог — системный подход, где целое мыслится как система частей («целое, мыслимое как многое»), т.е. учитывается не только «материальный состав» целого, но и взаимосвязи между ними. Видимо, более важно здесь «обратное направление взгляда»: не от частей к целому, а от целого к частям, т.е. не синтез (нового) целого, а анализ (уже существующего, увиденного) целого. Четвертый подход представлен Б. Расселом. В своих работах Рассел практически отошел от первоначального понимания множества у Кантора и ввел вместо этого понятие класса. Принципиальное отличие «класса» от «множества» в том, что «класс» это «множественное The» (Рассел — англичанин), т.е. множество здесь мыслится не как нечто единое (цельное), а как множественность отдельных конкретных предметов, т.е. это «сборище» отдельных предметов, которые не образуют единого мета-предмета (множества) следующего уровня, а каждый предмет сохраняет свою самостоятельность.

Что же представляет собой теоретико-множественный подход? Это определенная реализация отношения «часть — целое» (четвертая возможность в нашем анализе). Это синтез нового целого из частей, и поэтому онтологических статус множества отличается от онтологического статуса элемента (если даже «материальный состав» тождественен: х (например, 1)  {х} ({1})). Множество — это метауровневая сущность и поэтому расселовские парадоксы неприемлемы (вернее, расселовские парадоксы показали и подчеркнули это). Но множество, в отличие от «кучи» Лесневского что-то делает со своими элементами. Я бы привел такой образ: множество — это «слиток» (золота), составленный из элементов (золотых монет; замечу, что не обязательно из однородных элементов — например, из золотых и фальшивых (серебряных) монет). Т.е. множество — это «слитое» (в одно) многое. И единственно возможная операция с этим слитком — «работа» и подмножествами, т.е. «новыми» частями целого. Причем, в общем случае они не совпадают с исходными частями и/или с другим разбиением целого на части. В момент слияния (в слиток) все исходные элементы исчезли, а последующие разбиения на подмножества — это создание новых частей. Исходные элементы множества (золотые монеты) можно пересчитать. Но когда образуется слиток, то прежние числа (пересчет) к нему не применим. Канторовская мощность — это, например, масса слитка, но более точный аналог — его «объем». Тогда мощность — это возможность сохранения объема: например, мы можем уполовинить количество исходных элементов (золотых монет), но если у нас остается возможность создать такой же по объему слиток, то «объемные» характеристики строительных элементов равны. Я думаю, что другие «разрежения» исходных элементов будут равнообъемны (точнее, все функциональные разрежения! — ведь (обычные типа сложения умножения, степени) функции — это способы разрежения или уплотнения объема, но не его увеличения. Увеличить объем можно одним способом (моя гипотеза, следующая из образа слитка) — взять исходное (т.е. первообразованный слиток) целое, разбить его на (новые) элементы (подмножества) и уже из них!! образовать новое целое—слиток: например, из слитка создать ажурную конструкцию). В этой аналогии становится также понятна не-счетность множества, т.к. слиток, в отличие от дискретных элементов — нечто цельное, или континуальное, что означает возможность его разбиения бесконечным числом способов (в то время как образован он одним — счетным — из способов).

С чем из физических характеристик может быть соотнесена «мощность» множеств — с объемом, массой (маловероятно) или плотностью (ведь объем слитка меньше, чем объем исходных элементов, а вот плотность больше). Правда это сопоставление физических и математических величин можно продолжить: у вещей есть масса и объем, две, в общем-то независимые характеристики. Нельзя ли это сопоставить комплексным числам или плоскостным числам?


Дополнительные вопросы

(как альтернативы вопросу №3; см. также http://www.philosophy.ru/library/katr/sam12.html)

1. Понятие бесконечности (континуальности) в математике и философии: его эволюция в трудах Платона, Аристотеля, Кузанского, Лейбница (по книгам П. Гайденко "Эволюция понятия науки" (кн.1. + кн.2)).

2. Специфика математического мышления и творчества (по статьям Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление»; А. Пуанкаре «Математическое творчество» и «Интуиция и логика в математике»; Г. Вейля «Математический способ мышления» и «Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике»; метафора «левого-правого полушария» (работы С. Маслова и В. Иванова).

3. Природа математического доказательства (по работе И. Лакатоса «Доказательства и опровержения»; обратить внимание на типы контрпримеров и методы «борьбы» с ними).

4. Можно ли считать машинные доказательства доказательствами? (см. статьи В.А. Успенского О доказательстве //Закономерности развития современной математики. М., 1987; А. Анисова ЭВМ и понимания математических доказательств //журнал «Вопросы философии», 1987, № 3).

5. Теоретико-множественная парадигма (по работе Н. Бурбаки Теория множеств) современной математики и ее возможные альтернативы (взгляды Н.А. Васильева (паранепротиворечивые логики — «Воображаемая логика»), А.И. Уемова (ЯТО), Ст. Лесьневского (мереология), теория категорий (Р. Голдблатт); см. мою лекцию на эту тему)

6. Философский смысл теорем об ограниченности формализмов (P=NP-проблема, теорема Черча — Россера, теорема Тарского, 1 и 2 теоремы Геделя; см. Смирнова Е.Д. «Логика и философия» (гл.5); Дж. Булос и Р. Джеффри «Логика и вычислимость»)

1 За основу взяты «фрагменты» из работы Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. «Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств» (об этой работе см. выше); Ср. также мое понимание множества как «слитка», представленное ниже (+ см. мою работу «Теоретико-множественная парадигма современной математики и ее альтернативы»; ссылка выше).




Скачать, 350.15kb.
Поиск по сайту:

Добавить текст на свой сайт
Загрузка...


База данных защищена авторским правом ©ДуГендокс 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
наши контакты
DoGendocs.ru
Рейтинг@Mail.ru