Загрузка...
Категории:

Загрузка...

Анализ Авторы программы: академик Ильин В. А., доцент Леонтьева Т. А. Лектор 2010/11 уч год

Загрузка...
Поиск по сайту:


Скачать 60.87 Kb.
Дата09.04.2012
Размер60.87 Kb.
ТипДокументы
Содержание
Содержание курса
Функциональные последовательности и ряды.
Интегрирование функций нескольких переменных.
Кратные несобственные интегралы.
4 семестр. Интегралы, зависящие от параметра.
Ряды Фурье и интеграл Фурье.
Теория функций комплексной переменной.
Подобный материал:

Математический анализ


Авторы программы: академик Ильин В.А., доцент Леонтьева Т.А.

Лектор 2010/11 уч.года: академик АН РУз, д-р. физ.-мат. наук,профессор, Алимов Ш.А., ст. преподаватель, к.ф.-м.н. Исраилова Д.М.


Аннотация


Во вторую часть курса математического анализа входит построение теории числовых рядов (включая методы суммирования расходяшихся числовых годов и двойные и повторные ряды), теории функциональных последовательностей и рядов (включая степенные ряды и ряды Фурье), теории двойных и n-кратных интегралов, кратных несобственных интегралов, криволинейных поверхностных интегралов, интегралов, зависящих от параметра и интеграла Фурье. Рассмотрены основные операции теории поля и интегральные Формулы анализа.


^ Содержание курса


Числовые ряды. Критерий Коши сходимости рядов. Ряды с неотрицательными членами.Критерий сходимости, признаки сравнения. Признаки сходимости Коши, Даламбера, Раабе, Гаусса, Коши-Маклорена. Абсолютная и условия сходимости. Признаки сходимости Лейбница, Абеля и Дирихле. Свойства сходящихся рядов. Бесконечные произведения. Двойные и повторные ряды занятие об обобщенных методах суммирования расходяшихся числовых рядов. Методы Чезаро (средних арифметических) и Пуассона-Абеля.

^ Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле-Абеля, Дини. Теоремы о непрерывности предельной функции и суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании. Сходимость в среднем. Равностепенная непрерывность семейства функций. Теорема Арцела. Степенные ряды и их свойства. Разложение функций в степенные ряды.

^ Интегрирование функций нескольких переменных. Двойные, тройные и n-кратные интеграли Римана. Критерий интегрируемости функции и классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Сведение кратных интегралов к повторным. Замена переменных.

^ Кратные несобственные интегралы. Теорема об эквивалентности сходимости и абсолютной сходимости. Главное значение несобственного интеграла.

Вычисление объемов с помощью двойных и тройных интегралов. Примеры физических приложений кратных интегралов.

Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и приложения.

Понятие о поверхности в трехмерном пространстве и способы ее задания. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их свойства и приложения.

Основные операции теории поля и их выражения в декартовых и криволинейных координатах. Формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса и их приложения.

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

^ 4 семестр. Интегралы, зависящие от параметра. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость и ее признаки. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру. Вычисление интеграла Дирихле. Гамма-функция и бета-функция Эйлера, их основные свойства. Формула Стирлинга.

^ Ряды Фурье и интеграл Фурье. Ортонормированные системы в евклидовых и псевдоевклидовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированнным системам. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные ортонормированые системы. Равенство Парсеваля. Сходимость по норме.

Тригонометрические ряды Фурье. Теоремы Фейера о сходимости средних Чезаро частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Тригонометрическая система и ее замкнутость. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций многочленами. Условия почленного интегрирования, равномерной сходимости, сходимости в точке и почленного дифференцирования тригонометрических рядов. Принцип локализации Римана. Тригонометрические ряды Фурье в комплексной форме.

Преобразование Фурье и его свойства. Интеграл Фурье, обратное преобразование Фурье. Условия разложимости функции в интеграл Фурье.

^ Теория функций комплексной переменной. Комплексные числа. Расширенная комплексная плоскость (сфера Римана). Сходящиеся последовательности комплексных чисел. Критерий Коши.

Функции одной комплексной переменной. Предел и непрерывность функции в точке. Простейшие элементарные функции комплексной переменной. Производная функции комплексной переменной. Аналитические функции. Условия Коши-Римана и гармонические функции. Дифференцирование элементарных функций. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексной переменной.

Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши. Первообразная функции комплексной переменной. Интеграл Коши и интегральная формула Коши. Интегральное представление гармонических функций.

Ряды комплексных чисел и функций комплексной переменной, в частности, аналитических функций, их свойства. Степенные ряды. Разложение аналитических функций в степенные ряды. Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.

Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация. Ряд Лорана. Изучение поведения аналитических функций в окрестности бесконечно удаленной точки. Вычеты и основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана. Принцип аргумента. Теорема Руше.

Конформные отображения односвязных областей. Примеры. Теорема Рима (без доказательства). Принципы конформных отображений. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями: линейной, дробнолинейной, показательной, логарифмической, степенной, функцией Жуковского.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Функция Грина (функция источника).

Преобразование Лапласа, его свойства и применения. Понятие об операционном исчислении.


Литература


1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ, ч. 2.М.: МГУ. 1987. М.: Проспект. 2004.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. 2. М.: Наука. 1980. М.: Физматлит. 1998, 2004.

3. Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука.

1990 и последующие издания.

4. Леонтьева Т.А. Лекции по теории функций комплексного переменного.

М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ. 2003.

5. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука. 1981.

6. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука. 1984.

7. Волковмский Л.И., Лунц Г.И., Араманович И.Г Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1975.

8. Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. Задачи по теории функций

комплексного переменного. М.: МГУ. 1992.


Дополнительная литература


1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 2. М.: Высшая школа. 1988.

2. Никольскиий С.М. Курс математического анализа, т. 2. М.: Наука. 1983.

3. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, ч. 2. М.: МГУ 1991. Ч. 3. М.: Факториал. 1996.

4. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу, т. 2. М.:Наука. 1986. Т. 3. М.: Физматлит. 1995.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1987.

6. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1982.

7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука. 1981.

8. Сборник задач по теории аналитических функций (подред. Евфафова М.А).М.: Наука. 1972.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, 3. М.: Физматлит. 2001

Скачать, 5008.73kb.
Поиск по сайту:

Добавить текст на свой сайт
Загрузка...


База данных защищена авторским правом ©ДуГендокс 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
наши контакты
DoGendocs.ru
Рейтинг@Mail.ru